限单元法与有限差分法、 古典变分法虽然都是近似解法， 但近似的本质是不同 的。众所周知，微分方程式能正确反映所需分析的连续体的规律，差分法只是在数
学上将微分方程用差分方程代替，而后进行数值运算，因此差分法可看成是数学上
的近似。有限单元法则是在力学模型上作了近似（或者说是作了物理上的近似） ， 它
得到的结果是模型化了的结构的数值精确解。由于有限单元的分割和结点的配置比
较灵活，即使边界较复杂，也可使边界结点落在实际边界上，因而可给出边界的较
好的逼近，且可以在应力集中区域配置较多的结点，以提高解的精度。这都是差分
法所不能做到的。有限单元法与古典变分法也有不同。古典变分法是用整体构造的
逼近函数（含有若干个待定系数）去计算能量泛函。由能量泛函小条件导出的是求
解待定系数的变分方程。而有限单元法是用分块（单元）构造单元的逼近函数（含
有若干个结点基本未知量） ，去计算每个单元的能量泛函，而后通过集合得到整体结
构的能量泛函，由能量泛函极小条件导出的是求解结点基本未知量的代数方程。鉴
于分单元构造逼近函数远比整体构造逼近函数方便，有限单元法的实用性便大大超
过了古典变分法 
【目录】
目 录第 1 章 绪论.........................................................................................................................51.1 引言..............................................................................................................................................51.2 一个简例......................................................................................................................................61.3 有限单元法分析过程的描述....................................................................................................111.3.1 结构离散化建立计算模型.............................................................................................111.3.2 单元分析.........................................................................................................................11第 2 章 平面问题的有限单元法.......................................................................................142.l 三角形应变单元.........................................................................................................................142.1.1 连续体的离散化.............................................................................................................142.1.2 位移模式..........................................................................................................................142.1.3 用结点位移表示应变.....................................................................................................162.1.4 用结点位移表示应力.....................................................................................................172.2 形函数的性质 面积坐标..........................................................................................................182.2.l 形函数的性质..................................................................................................................182.2.2 面积坐标.........................................................................................................................202.4 整体刚度方程的建立 整体刚度矩阵..................................................................................... 262.5 等效结点力 荷载列阵..............................................................................................................312.6 约束条件的处理........................................................................................................................342.7 解题步骤和注意事项................................................................................................................362.7.1 解题步骤.........................................................................................................................362.7.2 注意事项.........................................................................................................................372.8 解答的收敛性............................................................................................................................382.9 热应力计算................................................................................................................................392.9.1 热应力.............................................................................................................................392.9.2 平面应力问题.................................................................................................................402.9.3 平面应变问题.................................................................................................................412.10 矩形单元..................................................................................................................................422.10.1 概述...............................................................................................................................422.10.2 位移模式.......................................................................................................................432.10.3 单元应变.......................................................................................................................442.10.4 单元应力.......................................................................................................................452.10.5 单元刚度矩阵...............................................................................................................452.10.6 等效结点力...................................................................................................................462.10.8 矩形单元和三角形常应变单元比较.......................................................................... 46第 3 章 平面问题有限元法程序设计...............................................................................493.1 概 述..........................................................................................................................................493.1.1 建立离散化模型，输入已知信息................................................................................ 493.1.2 形成、组集结构刚度矩阵............................................................................................ 493.1.3 载荷、约束信息量处理.................................................................................................493.1.4 求解结构整体刚度方程.................................................................................................493.1.5 计算应力等其它力学量..................................................................................................493.1.6 输出计算结果.................................................................................................................493.2 常应变单元的主要公式和程序设计........................................................................................ 5033.2.1 常应变单元的主要公式.................................................................................................503.2.2 程序框图和程序设计重点............................................................................................ 513.2.3 程序结构.........................................................................................................................523.2.5 标识符说明及程序中的数据组织................................................................................ 533.2.6 主程序.............................................................................................................................543.3 原始数据输入............................................................................................................................543.4 形成材料弹性矩阵....................................................................................................................553.5 形成单元刚度矩阵....................................................................................................................553.6 形成结构整体刚度矩阵............................................................................................................573.6.1 存贮方法.........................................................................................................................573.6.2 关于有限元结点的合理编序........................................................................................ 583.6.3 等带宽存贮技术，形成组集结构整体刚度矩阵的子程序......................................... 593.7 形成结构整体荷载列阵............................................................................................................603.8 约束条件的处理........................................................................................................................603.9 结构整体刚度矩阵方程的求解................................................................................................613.9.1 高斯消元法原理.............................................................................................................623.9.2 对称带状稀疏方程组的高斯消元法............................................................................ 633.10 单元应力分析..........................................................................................................................66第 4 章 轴对称空间问题的有限单元法...........................................................................744.1 概述............................................................................................................................................744.2 三角形截面环单元.....................................................................................................................754.2.1 单元的位移函数.............................................................................................................754.2.2 单元应变.........................................................................................................................754.2.3 单元应力.........................................................................................................................764.3 单元刚度矩阵.....................................................................................................................774.4 等效结点力计算........................................................................................................................794.4.1 体积力...........................................................................................................................794.4.2 表面力..............................................................................................................................804.5 采用四面体单元解一般空间问题........................................................................................... 824.5.1 单元的位移系数..............................................................................................................824.5.2 单元的应变与应力..........................................................................................................844.5.3 刚度矩阵.........................................................................................................................854.5.4 等效结点计算.................................................................................................................86第 5 章 等参数单元...........................................................................................................885.1 等参数单元的概念....................................................................................................................885.2 高斯求积法.................................................................................................................................905.3 平面八结点等参单元................................................................................................................935.3.2 单元刚度矩阵.................................................................................................................965.4 空间二十结点等参单元............................................................................................................995.4.1 单元的应变矩阵和应力矩阵...................................................................................... 1005.4.2 单元刚度矩阵...............................................................................................................1035.4.3 单元等效结点力列阵...................................................................................................104第 6 章 杆件系统的有限元法.........................................................................................1086.1 概述...........................................................................................................................................10846.2 局部坐标系中梁单元的刚度矩阵与等效结点力................................................................. 1086.2.4 局部坐标系中梁单元的单元刚度矩阵的计算........................................................... 1126.2.5 等效结点力计算............................................................................................................1126.3 坐标变换 体坐标系中单元 刚度矩阵与等效结点力......................................................... 1156.3.1 坐标变换方法...............................................................................................................1156.3.2 转换矩阵 T................................................................................................................... 1156.4 结构整体刚度矩阵与节点载荷列阵 算例........................................................................... 1176.5 释放自由度..............................................................................................................................119第 7 章 动力学问题的有限单元法简述.........................................................................1257.1．动力学方程 质量矩阵及阻尼矩阵..................................................................................... 1257.2 特征值问题...............................................................................................................................1287.3 动力响应 逐步积分法...........................................................................................................1297.3.1 动力响应问题................................................................................................................1297.3.2 逐步积分法...................................................................................................................129第 8 章 平面问题的边界元法.........................................................................................1348.1 基本解.......................................................................................................................................1348.1.1 函数..........................................................................................................................1348.1.2 基本解............................................................................................................................1358.2 边界积分方程...........................................................................................................................1398.2.l 积分方程........................................................................................................................1398.2.2 边界积分方程...............................................................................................................1418.3 边界积分方程的离散...............................................................................................................1448.4.1 的计算....................................................................................................................145 Hii8.4.3 、 （ ）的计算........................................................................................ 147 Hij Gij i j8.5 域内的位移和应力..................................................................................................................1518.5.1 域内的位移...................................................................................................................1518.5.2 域内的应力...................................................................................................................1518.6 边界上的应力...................................................................................................................1528.7.1 使用说明.......................................................................................................................1548.7.3 源程序...........................................................................................................................155
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